Previous Next Contents

Chapter 4    Equation de Laplace en dimension 2

4.1  Aspect mathématique

4.1.1  Le problème aux limites sur un rectangle

On note D = 2 / x2 +2 / y2. On considère l'équation de Laplace
-D u=0     (4.1)
sur le rectangle: W=[0,Lx]× [0,Ly] et où u est une fonction scalaire de la variable d'espace (x,y)Î W. La frontière de W se décompose en quatre segments: Gb=]0,Lx[× {0 }, Gd={Lx }× ]0,Ly[ , Gh=]0,Lx[× {Ly } et Gg={0 }× ]0,Ly[ . On étudiera différents jeux de conditions aux limites:
u=0 sur GbÈ Gh, u=gg sur Gg et u=gd sur Gd     (4.2)
ou bien
u=0 sur GbÈ Gh, u=gg sur Gg et (
u

n
+a u)=gd sur Gd,     (4.3)
a est une constante positive ou nulle, n est la normale extérieure au domaine W et gggd sont des fonctions scalaires. Nous désignerons par P1r le problème (4.1)-(4.2) et par P2r le problème (4.1)-(4.3). Nous allons étudier formellement ces problèmes à l'aide de l'analyse de Fourier qui nous sera utile par la suite pour l'analyse des méthodes de décomposition de domaine. Il existe des méthodes d'analyse mathématique plus générales1 dont nous ne nous servirons pas ici.

Nous introduisons la famille de fonctions
zn=
2

Ly
sin(
np y

Ly
), n³ 1     (4.4)
qui sont telles que zn(0)=zn(Ly)=0. On sait que les fonctions zn forment une base orthogonale de L2(]0,Ly[) et une base orthonormale de H1(]0,Ly[). On peut écrire u(x,y) sous la forme
u(x,y)=
¥
S
n=1
un(x) zn(y)     (4.5)
qui satisfait les conditions de Dirichlet homogènes sur Gb et Gh.
L'équation (4.1) se traduit par:
¥
S
n=1
d2 un

dx2
zn +
¥
S
n=1
un (-
n2p2

Ly2
) zn = 0     (4.6)
soit
¥
S
n=1
(
d2 un

dx2
-
n2p2

Ly2
un) zn = 0     (4.7)
d'où
d2 un

dx2
-
n2p2

Ly2
un=0, " n³ 1.     (4.8)
Pour alléger les notations, on pose
kn=
np

Ly
, n³ 1.     (4.9)
La solution générale de (4.8) est de la forme
un(x)=dn e
-kn x
 
+bn e
kn (x-Lx)
 
.     (4.10)
Les coefficients dn et bn seront déterminés par les conditions aux limites sur Gg et Gd qui sont différentes pour les problèmes P1r et P2r. On introduit les décompositions de gg et gd en série de Fourier
gg=
¥
S
n=1
ggn zn(y) et gd=
¥
S
n=1
gdn zn(y)     (4.11)
ggn= ó
õ
Ly


0
gg(yzn(ydy et gdn= ó
õ
Ly


0
gd(yzn(ydy.

Etude du problème P1r

La condition à la limite (4.2) sur Gg s'écrit
¥
S
n=1
un(0) zn(y)=gg(y)=
¥
S
n=1
ggn zn(y)
soit encore
un(0)=ggn, " n³ 1.
De même, la condition à la limite sur Gd donne
gdn=un(Lx).
En utilisant (4.10), les conditions aux limites sur Gg et Gd se traduisent par un système en dn et bn:
dn+bn e
-kn  Lx
 
=ggn
dn e
-kn  Lx
 
+bn =gdn.
Le déterminant du système linéaire (4.12) vaut 1-e-2kn Lx et est différent de zéro. On a
dn =
ggn-gdne
-kn Lx
 

1-e
-2kn Lx
 
bn =
gdn-ggne
-kn Lx
 

1-e
-2kn Lx
 
.
Ainsi, le problème P1r admet une solution unique donnée par
u(x,y)=
¥
S
n=1
é
ê
ê
ê
ë
ggn(e
-kn x
 
-e
kn(x-2Lx)
 
) +gdn(e
kn (x-Lx)
 
-e
-kn(x+Lx)
 
)

1-e
-2kn Lx
 
ù
ú
ú
ú
û
 zn(y).     (4.12)

Etude du problème P2r

Par rapport au problème P1r, seule la condition à la limite sur Gd change. D'après (4.3), on a
¥
S
n=1
d un

dx
(Lxzn(y) + a
¥
S
n=1
un(Lxzn(y)=gd(y),
soit
¥
S
n=1
(
d un

dx
(Lx)+a un(Lx)) zn(y)=gd(y)
ou encore en utilisant la décomposition en série de Fourier de gd (4.11):
¥
S
n=1
(
d un

dx
(Lx)+a un(Lx)) zn(y)=
¥
S
n=1
gdnzn(y),
soit pour tout n³ 1:
d un

dx
(Lx)+a un(Lx)=gdn.     (4.13)
La première ligne de (4.12) et les équations (4.14) et (4.10) donnent
dn+bn e
-kn  Lx
 
=ggn
dn (-kn + a) e
-kn  Lx
 
+bn (kn + a) =gdn.
Le déterminant de (4.15) vaut (kn+a)-(-kn+a)e-2knLx et est strictement supérieur à zéro car akn>0. On a
dn =
(kn+a)ggn-gdne
-kn Lx
 

kn+a-(-kn+a)e
-2kn Lx
 
bn =
gdn-ggn(-kn+a)e
-kn Lx
 

kn+a-(-kn+a)e
-2kn Lx
 
.
Ainsi, le problème P2r admet une solution unique donnée par
u(x,y)=
¥
S
n=1
é
ê
ê
ê
ê
ê
ë
ggn( e
-kn x
 
-
-kn+a

kn+a
e
kn(x-2Lx)
 
) +
gdn

kn+a
(e
kn (x-Lx)
 
-e
-kn(x+Lx)
 
)

1-
-kn+a

kn+a
e
-2kn Lx
 
ù
ú
ú
ú
ú
ú
û
zn(y).     (4.14)

4.1.2  Le problème aux limites sur une bande semi-infinie

Les formules (4.13) et (4.16) se simplifient notablement si on considère des équations de Laplace posées dans des domaines infinis dans une direction d'espace. On considère l'équation de Laplace sur une bande semi-infinie
-D u = 0 dans W=]0,¥[× ]0,Ly[.     (4.15)
La frontière de W se décompose en trois parties: Gb=]0,¥[× {0}, Gh=]0,¥[× {Ly} et Gg={0}× ]0,Ly[. On étudiera différents jeux de conditions aux limites:
u=0 sur GbÈ Gh, et u=gg sur Gg     (4.16)
ou bien
u=0 sur GbÈ Gh, et (
u

n
+a u)=gg sur Gg,     (4.17)
a est une constante positive ou nulle, n est la normale extérieure au domaine W et gggd sont des fonctions scalaires. Nous désignerons par P1 le problème (4.17)-(4.18) et par P2 le problème (4.17)-(4.19). Les formules explicites des solutions s'obtiennent à partir des formules (4.13) et (4.16). En faisant tendre Lx vers l'infini dans (4.13), on obtient la formule suivante pour l'unique solution du problème P1:
u(x,y)=
¥
S
n=1
ggne
-kn x
 
 zn(y).     (4.18)
En faisant le changement de variable x¾® -x et en faisant tendre Lx vers l'infini dans la formule (4.16), on obtient la formule suivante pour l'unique solution du problème P2:
u(x,y)=
¥
S
n=1
ggn

kn+a
e
-kn x
 
 zn(y).     (4.19)
Les fonctions zn et les coefficients ggn et kn sont définis, respectivement, par les formules (4.4), (4.11) et (4.9) ci-dessus.


Remarque 4.1.1  Le cas de l'équation (4.17) avec un second membre f peut se traiter de la même manière en utilisant la formule de Duhamel. Les expressions ne sont pas données car elles ne seront pas utilisées pour étudier les méthodes de décomposition de domaine. Par la suite, on admettra que les problèmes aux limites sont bien posés. La théorie complète se trouve exposée par exemple dans le polycopié [LL].


4.2  Méthodes de décomposition de domaine - Cas continu

Nous considérons l'équation
-D u=f     (4.20)
u et f sont des fonctions scalaires de la variable d'espace (x,y)Î IR× ]0,Ly[ avec des conditions aux limites de Dirichlet homogènes:
u=0 sur IR× {0}È IR× {Ly}    (4.21)
La bande infinie IR× ]0,Ly[ est décomposée en deux sous-domaines W1=[-¥,L1[× ]0,Ly[ et W2=[l2,¥[× ]0,Ly[, 0<l2£ L1<L. Nous désignerons par P le problème défini par (4.22)-(4.23). Nous allons réécrire P de deux manières différentes sous la forme de deux problèmes couplés posés dans les sous-domaines W1 et W2. Puis, nous étudierons une méthode itérative de résolution de ces systèmes couplés adaptée aux architectures parallèles.

On désigne par u1 la restriction de u au domaine W1 et par u2 sa restriction au domaine W2. Le couple (u1,u2) vérifie
ì
í
î
-D u1=f dans W1
u1=0 sur ]-¥,L1[× {0}È ]-¥,L1[× {Ly}
ì
í
î
-D u2=f dans W2
u2=0 sur ]l2,¥[× {0}È ]-¥,L1[× {Ly}
D'après (4.25), la forme générale de u2 est donnée par
u2=u
 
|W2
+w2
w2 est une fonction dont le laplacien est nul, qui s'annule sur ]l2,¥[× {0}È ]l2,¥[× {Ly} mais prend une valeur quelconque sur {l2}× ]0,Ly[. La fonction w2 est donc solution d'un problème du type P1 avec la condition de Dirichlet tautologique w2(l2,y)=w2(l2,y). D'après le paragraphe 4.1.2 (et à une translation près), la forme générale de w2 est
w2(x,y)=
¥
S
n=1
g2ne
-kn (x-l2)
 
 zn(y)     (4.22)
où (g2n)n³ 1 est une suite arbitraire de coefficients de Fourier. De même, d'après (4.24), la forme générale de u1 est donnée par
u1=u
 
|W1
+w1
w1 est une fonction dont le laplacien est nul, qui s'annule sur ]-¥,L1[× {0}È ]-¥,L1[× {Ly} mais prend une valeur quelconque sur {L1}× ]0,Ly[. La fonction w1 est donc solution d'un problème du type P1 avec la condition de Dirichlet tautologique w1(L1,y)=w1(L1,y). D'après le paragraphe 4.1.2, la forme générale de w1 est (après un changement de variables)
w1(x,y)=
¥
S
n=1
g1ne
kn (x-L1)
 
 zn(y)     (4.23)
où (g1n)n³ 1 est une suite arbitraire de coefficients de Fourier.
Remarque (Importante) 4.2.1  Les termes en x intervenant dans (4.26) et (4.27) sont exponentiellement décroissants.
Ainsi, les équations (4.24)-(4.25) ne suffisent pas à déterminer de manière unique le couple (u1,u2). Dans les paragraphes qui suivent, nous ajoutons des conditions de raccord aux interfaces (dites aussi conditions d'interface) x=L1 et x=l2 pour que le couple (u1,u2) soit déterminé de manière unique et soit égal aux restrictions de u aux sous-domaines W1 et W2. Pour chaque jeu de conditions d'interfaces, on propose une méthode itérative de résolution adaptée aux architectures parallèles.

4.2.1  Reformulation avec des conditions de Dirichlet - Problème P'

Nous ajoutons des conditions de raccord de type Dirichlet:
u1(L1,y)=u2(L1,y) " yÎ ]0,Ly[     (4.24)
et
u2(l2,y)=u1(l2,y) " yÎ ]0,Ly[.     (4.25)
Nous désignerons par P' le problème (4.24)-(4.25)-(4.28)-(4.29). Nous allons montrer que ce problème admet un couple solution unique (u1,u2) si et seulement si les sous-domaines se recouvrent (L1>l2).
Existence
La solution u du problème P étant continuement dérivable, le couple (u1,u2), où u1=u|W1 et u2=u|W2, est solution du problème P'.
Remarquons que s'il y unicité, la solution de P' est la restriction de u aux sous-domaines.
Unicité
Par linéarité des équations, il suffit de considérer les équations homogènes f=0. D'après (4.24) et (4.25), u1 et u2 sont donc solutions d'un problème du type P1 avec les conditions de Dirichlet tautologiques u1(L1,y)=u1(L1,y) et u2(l2,y)=u2(l2,y). Ainsi, on a
u1(x,y)=
¥
S
n=1
g1ne
kn (x-L1)
 
 zn(y)
et
u2(x,y)=
¥
S
n=1
g2ne
-kn (x-l2)
 
 zn(y)
où (g1n)n³ 1 et (g2n)n³ 1 sont des suites arbitraires de coefficients de Fourier.
La condition de raccord (4.28) devient:
¥
S
n=1
g1n zn(y)=
¥
S
n=1
g2ne
-kn (L1-l2)
 
 zn(y)
soit encore
¥
S
n=1
(g1n-g2ne
-kn (L1-l2)
 
zn(y) =0,
d'où
g1n - g2ne
-kn (L1-l2)
 
=0, " n³ 1.     (4.26)
De même, la condition de raccord (4.29) devient
- g1ne
kn (l2-L1)
 
+ g2n =0, " n³ 1.     (4.27)
Pour chaque n³ 1, le système linéaire en (g1n,g2n) (4.30)-(4.31) a un déterminant qui vaut 1-e-2kn(L1-l2).
Il est non nul ssi les sous-domaines se recouvrent, l2<L1. Alors, on a g1n=g2n=0 pour tout n³ 1 et donc u1=u2=0. Ceci prouve l'unicité.
Dans le cas où les sous-domaines sont adjacents (l2=L1), le déterminant de (4.30)-(4.31) s'annule et le système linéaire (4.30)-(4.31) admet une infinité de solutions g1n=g2n, g2n=g2n. Il en est alors de même du problème P' qui admet une infinité de solutions. On a ainsi montré le
Lemme 4.2.1  Le problème P' (Eqs. (4.24)-(4.25)-(4.28)-(4.29)) admet une unique solution ssi les sous-domaines se recouvrent. Dans ce cas, la solution (u1,u2) de P' est composée des restrictions, aux sous-domaines, de la solution u du problème P (i.e. u1=u sur W1 et u2=u sur W2).


4.2.2  Algorithme parallèle de résolution du problème P' (Algorithme de Schwarz)

Nous considérons une méthode itérative de résolution du problème P'. On part de u10 et u20 quelconques et on pose
ì
í
î
-D u1n+1=f dans W1
u1n+1=0 sur ]-¥,L1[× {0}È ]-¥,L1[× {Ly}
u1n+1(L1,y)=u2n(L1,y)
ì
í
î
-D u2n+1=f dans W2
u2n+1=0 sur ]l2,¥[× {0}È ]l2,¥[× {Ly}
u2n+1(l2,y)=u1n(l2,y)
Les problèmes aux limites définissant l'algorithme sont du type P1 et donc bien posés.
Remarque 4.2.1  Une solution stationnaire de l'algorithme est solution du problème P'. Ceci prouve que si l'algorithme converge, il converge vers l'unique solution (quand les sous-domaines se chevauchent) de P' qui est la restriction aux sous-domaines W1 et W2 de la solution u du problème P. L'algorithme (4.32)-(4.33) sera donc une méthode itérative de résolution du problème P.
Pour étudier la convergence, on pose e1n=u1n-u1 et e2n=u2n-u2 où (u1,u2) est la solution du problème P'. Par linéarité des équations, l'erreur (e1n,e2n) vérifie
ì
í
î
-D e1n+1=0 dans W1
e1n+1=0 sur ]-¥,L1[× {0}È ]-¥,L1[× {Ly}
e1n+1(L1,y)=e2n(L1,y)
ì
í
î
-D e2n+1=0 dans W2
e2n+1=0 sur ]l2,¥[× {0}È ]l2,¥[× {Ly}
e2n+1(l2,y)=e1n(l2,y)
On a ainsi pour n³ 1,
e1n(x,y)=
¥
S
m=1
g1mn e
km (x-L1)
 
 zm(y)
et
e2n(x,y)=
¥
S
m=1
g2mn e
-km (x-l2)
 
 zm(y).
Les conditions de Dirichlet en x=L1 et x=l2 donnent
¥
S
m=1
g1mn+1  zm(y) =
¥
S
m=1
g2mn e
-km (L1-l2)
 
 zm(y)
et
¥
S
m=1
g2mn+1 zm(y) =
¥
S
m=1
g1mn e
km (l2-L1)
 
 zm(y).
soit encore pour tout n³ 1,
g1mn+1 = g2mn e
-km (L1-l2)
 
,
g2mn+1 = g1mn e
km (l2-L1)
 
.
On a donc pour tout m³ 1 et n³ 2:
g1mn+1 = g2mn e
-km (L1-l2)
 
= g1mn-1 e
-2 km (L1-l2)
 
º bm g1mn-1.
La relation est aussi valable pour g2mn+1. Il faut distinguer deux cas suivant le chevauchement des sous-domaines. En effet, pour l2=L1, on a bm=1 et l'algorithme stagne. Par contre, pour l2 < L1, on a une majoration uniforme de bm: bm £ b1 < 1. Par application du théorème de Parseval-Plancherel, on a
||e12n+1||
2
 
L2(W1)
= ó
õ
L1


-¥
¥
S
m=1
e
2km(x-L1)
 
(g1m2n+1)2 =
¥
S
m=1
(g1m2n+1)2

2km
||e12n+1||
2
 
L2(W1)
=
¥
S
m=1
bmn
(g1m1)2

2km
£ b1n
¥
S
m=1
(g1m1)2

2km
£ b1n ||e11||
2
 
L2(]0,Ly[)
.
La norme L2 de l'erreur converge géométriquement vers zéro.
On a prouvé le
Théorème 4.2.2  L'algorithme de Schwarz (4.32)-(4.33) converge si et seulement si les sous-domaines se recouvrent (l2<L1).

Remarque 4.2.2  L'absence de convergence dans le cas sans recouvrement est en accord avec le fait que le problème P' est alors mal posé.

Remarque 4.2.3  Plus le nombre de Fourier km=mp/ Ly est grand, plus le facteur de convergence bm est petit. Rappelons que cela correspond à la composante de l'erreur selon zm=sin(km y). Les composantes les plus oscillantes de l'erreur le long des interfaces x=L1 et x=l2 sont ainsi très rapidement atténuées par l'algorithme.

Remarque 4.2.4  Les conclusions précédent valables pour un domaine borné dans la direction x.


4.2.3  Reformulation avec des conditions de Robin - Problème P''

Pour fermer le système d'équations (4.24)-(4.25), nous ajoutons des conditions de raccord de type Robin:
(
u1

n1
+a u1)(L1,y)= (-
u2

n2
+a u2)(L1,y) " yÎ ]0,Ly[     (4.28)
et
(
u2

n2
+a u2)(l2)= (-
u1

n1
+a u1)(l2) " yÎ ]0,Ly[     (4.29)
a est une constante strictement positive, n1 (resp. n2) désigne la normale extérieure au domaine W1 (resp. W2). Les signes - devant les dérivées normales viennent du fait que n2=-n1. Nous désignerons par P'' le problème (4.24)-(4.36)-(4.25)-(4.37). Nous allons montrer que ce problème admet un couple solution unique (u1,u2) avec ou sans recouvrement des sous-domaines.
Existence
La solution u du problème P étant continuement dérivable, le couple (u1,u2), où u1=u|W1 et u2=u|W2, est solution du problème P''. Remarquons que s'il y unicité la solution de P'' est la restriction de u aux sous-domaines.
Unicité
Par linéarité des équations, il suffit de considérer les équations homogènes f=0. D'après (4.24) et (4.25), u1 et u2 sont donc solutions d'un problème du type P1 avec les conditions de Dirichlet tautologiques u1(L1,y)=u1(L1,y) et u2(l2,y)=u2(l2,y). Ainsi, on a
u1(x,y)=
¥
S
n=1
g1ne
kn (x-L1)
 
 zn(y)
et
u2(x,y)=
¥
S
n=1
g2ne
-kn (x-l2)
 
 zn(y)
où (g1n)n³ 1 et (g2n)n³ 1 sont des suites arbitraires de coefficients de Fourier.
La condition de raccord (4.36) devient:
¥
S
n=1
g1n(kn+azn(y)=
¥
S
n=1
g2n (-kn+a) e
-kn (L1-l2)
 
 zn(y)
soit encore
¥
S
n=1
(g1n(kn+a)-g2n(-kn+a)e
-kn (L1-l2)
 
zn(y) =0,
d'où
(kn+a) g1n - (-kn+a) g2ne
-kn (L1-l2)
 
=0, " n³ 1.     (4.30)
De même, la condition de raccord (4.37) devient
- g1n(-kn+a) e
kn (l2-L1)
 
+ g2n (kn+a) =0, " n³ 1.     (4.31)
Pour chaque n³ 1, le déterminant du système linéaire en (g1n,g2n) (4.38)-(4.39) vaut (kn+a)2-(-kn+a)2e-2kn(L1-l2). et est strictement positif. Le système (4.38)-(4.39) admet comme unique solution la solution nulle. Il en est alors de même du problème P''. On a ainsi montré le
Lemme 4.2.3  Le problème P'' (Eqs. (4.24)-(4.36)-(4.25)-(4.37)) admet une unique solution. La solution (u1,u2) de P'' est composée des restrictions, aux sous-domaines, de la solution u du problème P (i.e. u1=u sur W1 et u2=u sur W2).

Remarque 4.2.5  Il est important de noter que le problème P'', contrairement au problème P', admet une solution unique même quand les sous-domaines ne se recouvrent pas.


4.2.4  Algorithme parallèle de résolution du problème P''

Nous considérons une méthode itérative de résolution du problème P''. On part de u10 et u20 quelconques et on pose
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
-D u1n+1=f dans W1
u1n+1=0 sur ]-¥,L1[× {0}È ]-¥,L1[× {Ly}
(
u1n+1

n1
+a u1n+1)(L1,y)=(-
u2n

n2
+a u2n)(L1,y) " yÎ ]0,Ly[
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
-
2 u2n+1

x2
=f dans W2
u2n+1=0 sur ]l2,¥[× {0}È ]l2,¥[× {Ly}
(
u2n+1

n2
+a u2n+1)(l2,y)=(-
u1n

n1
+a u1n)(l2,y) " yÎ ]0,Ly[
Les problèmes aux limites définissant l'algorithme sont du type P2 et donc bien posés.
Remarque 4.2.6  Une solution stationnaire de l'algorithme est solution du problème P''. Ceci prouve que si l'algorithme converge (voir plus loin), il converge vers l'unique solution de P'' qui est la restriction aux sous-domaines W1 et W2 de la solution u du problème P. L'algorithme (4.40)-(4.41) sera donc une méthode itérative de résolution du problème P.
Pour étudier la convergence, on pose e1n=u1n-u1 et e2n=u2n-u2 où (u1,u2) est la solution du problème P''. L'erreur (e1n,e2n) vérifie par linéarité des équations
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
-D e1n+1=0 dans W1
e1n+1=0 sur ]-¥,L1[× {0}È ]-¥,L1[× {Ly}
(
e1n+1

n1
+a e1n+1)(L1,y)=(-
e2n

n2
+a e2n)(L1,y) " yÎ ]0,Ly[
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
-D e2n+1=0 dans W2
e2n+1=0 sur ]l2,¥[× {0}È ]l2,¥[× {Ly}
(
e2n+1

n2
+a e2n+1)(l2,y)=(-
e1n

n1
+a e1n)(l2,y) " yÎ ]0,Ly[
On a ainsi pour n³ 1,
e1n(x,y)=
¥
S
m=1
g1mn e
km (x-L1)
 
 zm(y)
et
e2n(x,y)=
¥
S
m=1
g2mn e
-km (x-l2)
 
 zm(y).
Les conditions de Robin en x=L1 et x=l2 donnent
¥
S
m=1
g1mn+1(km+a)  zm(y) =
¥
S
m=1
g2mn(-km+a) e
-km (L1-l2)
 
 zm(y)
et
¥
S
m=1
g2mn+1(km+azm(y) =
¥
S
m=1
g1mn (-km+a) e
km (l2-L1)
 
 zm(y).
soit encore pour tout n³ 1,
g1mn+1 (km+a) = g2mn (-km+a) e
-km (L1-l2)
 
,
g2mn+1 (km+a) = g1mn (-km+a) e
km (l2-L1)
 
.
On a donc pour tout m³ 1 et n³ 2:
g1mn+1 = g2mn
-km+a

km+a
e
-km (L1-l2)
 
= g1mn-1 æ
ç
ç
è
-km+a

km+a
ö
÷
÷
ø
2



 
e
-2 km (L1-l2)
 
º bm g1mn-1.
On ne considère que l'erreur dans le domaine W1. L'erreur dans le domaine W2 se traite de la même manière. On a ainsi g1m2n+1=bmn g1m1. Comme on a akm>0, on voit que: bm< e-2km(L1-l2)<1. Toutefois, en l'absence de recouvrement, bm tend vers 1 quand m tend vers l'infini. Ceci indique qu'il faut distinguer deux cas.
Cas n01 Les sous-domaines se recouvrent.
On a une majoration uniforme de bm: bm £ b1 < 1. Par application du théorème de Parseval-Plancherel, on a
||e12n+1||
2
 
L2(W1)
= ó
õ
L1


-¥
¥
S
m=1
e
2km(x-L1)
 
(g1m2n+1)2 =
¥
S
m=1
(g1m2n+1)2

2km
||e12n+1||
2
 
L2(W1)
=
¥
S
m=1
bmn
(g1m1)2

2km
£ b1n
¥
S
m=1
(g1m1)2

2km
£ b1n ||e11||
2
 
L2(]0,Ly[)
.
La norme L2 de l'erreur converge géométriquement vers zéro.
Cas n02 Les sous-domaines ne se recouvrent pas.
La formule suivante reste valable:
||e12n+1||
2
 
L2(W1)
=
¥
S
m=1
bmn
(g1m1)2

2km
Rappelons que bm < 1 pour tout m³ 1. Chaque terme de la série (bmn (g1m1)2/ 2km)m³ 1 tend vers zéro quand n tend vers l'infini et la série a un majorant fixe: la série ((g1m1)2/ 2km)m³ 1. Rappelons que Sm=1¥(g1m1)2/ 2km = ||e11||L2(]0,Ly[)2. On peut donc passer à la limite sous le signe somme, ||e12n+1||L2(W1)2 tend vers zéro quand n tend vers l'infini. On a prouvé (formellement en fait car les hypothèses sur u1,20 qui garantissent que ||e11||L2(]0,Ly[)2 soit bornée ne sont pas données) le
Théorème 4.2.4  Pour a>0, l'algorithme (4.40)-(4.41) converge. Si les sous-domaines se recouvrent, la convergence est géométrique.

Remarque 4.2.7  Contrairement à l'algorithme de Schwarz du paragraphe 4.2.2, on a convergence avec ou sans recouvrement des sous-domaines.

Remarque 4.2.8  Contrairement au cas unidimensionnel:

Remarque 4.2.9  Quand les sous-domaines se recouvrent, pour des grandes valeurs du nombre de Fourier km=mp/ Ly, le facteur de convergence bm est très petit. Rappelons que cela correspond à la composante de l'erreur selon zm=sin(km y). Les composantes les plus oscillantes de l'erreur le long des interfaces x=L1 et x=l2 sont ainsi très rapidement atténuées par l'algorithme.
Quand les sous-domaines ne se recouvrent pas, la convergence des composantes de l'erreur sur les modes très oscillants le long des interfaces est très lente (
bm ® 1, pour m® ¥).

Remarque 4.2.10  Les conclusions précédent valables pour un domaine borné dans la direction x.


4.3  Aspect numérique

4.3.1  Approximations par différences finies

Nous considérons l'équation
-D u=f, dans ]0,Lx[× ]0,Ly[
u(x,0)=u(x,Ly)=0 " xÎ ]0,Lx[
    (4.32)
avec les conditions aux bords
u(0,y)=gg(y) et (
u

x
+a u)(L,y)=gd(y) " yÎ ]0,Ly[,     (4.33)
a est une constante positive ou nulle et gggd sont des fonctions scalaires. Nous introduisons des schémas d'approximation par différence finie. Nous cherchons à calculer une approximation de la solution aux points
(xi, yj)1£ i£ Nx, 1£ j£ Ny définis par
xi= (i-1) D x et yj= (j-1) D y
Nx et Ny sont les nombres de points de discrétisation dans les directions x et y et D x=Lx/(Nx-1), D y=Ly/(Ny-1) désignent les pas de discrétisation. On note uij l'approximation numérique de u au point (xi,yj). Pour approcher (4.44), on utilise un schéma centré
-
u
 
i+1 j
-2u
 
i j
+ u
 
i-1 j

(D x)2
-
u
 
i j+1
-2u
 
i j
+ u
 
i j-1

(D y)2
=f(xi,yj).     (4.34)
Les conditions de Dirichlet dans (4.44) se traduisent par
u
 
i 1
=u
 
i Ny
=0, 1£ i £ Nx.     (4.35)
La condition de Dirichlet dans (4.45) est approchée par
u1j=gg(yj), 2£ j £ Ny-1.     (4.36)
On ne considère pas les valeurs u1 1 et uNy aux extrémités de {0}× ]0,Ly[ car on y a déjà écrit (cf. 4.47) une condition de Dirichlet homogène.
La condition de Robin dans (4.45) peut être approchée de plusieurs façons. Nous en mentionnons deux.

Possibilité n01.

u
 
Nx j
- u
 
Nx-1 j

D x
+a u
 
Nx j
= gd(yj).     (4.37)
Cette formule correspond à une approximation de la dérivée première en x à l'aide d'un développement de Taylor à l'ordre 1:
u(x
 
Nx-1
,yj)=u(x
 
Nx
,yj)-D x
u

x
(x
 
Nx
,yj) +O(D x2).     (4.38)

Possibilité n02.

u
 
Nx j
- u
 
Nx-1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx
,yj) -
D x

2
u
 
Nx j-1
-2u
 
Nx j
+ u
 
Nx j+1

(D y)2
+a u
 
Nx j
= gd(yj).     (4.39)
Cette formule correspond à une approximation de la dérivée première en x à l'aide d'un développement de Taylor à l'ordre 2:
u(x
 
Nx-1
,yj)=u(x
 
Nx
,yj)-D x
u

x
(x
 
Nx
,yj) +
1

2
(D x)2
2 u

x2
(x
 
Nx
,yj) +O(D x3).     (4.40)
dans lequel on a approché 2 u/ x2(xNx,yj) à l'aide de l'équation (4.46) en (i,j)=(Nx,j). La possibilité (4.51) est plus précise que la possibilité (4.49) puisqu'elle est en O(D x2) alors que (4.49) est en O(D x).

Attention! pour estimer l'ordre on divise (4.50) et (4.52) par D x.

4.4  Méthodes de décomposition de domaine - Cas discret

Dans ce paragraphe, nous donnons un équivalent discret des méthodes de décomposition de domaine du cas continu traité dans le paragraphe 4.2. Nous nous plaçons sur une géométrie simple, infinie dans la direction x: IR× [0,Ly]. Celle-ci n'est pas réaliste d'un point de vue pratique mais elle simplifie l'étude des méthodes de décomposition de domaine. Les pas de maillage en x et en y sont D x et en D y et on pose xi=(i-1)D x, iÎZZ et yj=(j-1)D y, 1£ j£ Ny-1.
Nous considérons le système linéaire issu de la discrétisation du problème P (Eqs. (4.22)-(4.23)):
-
u
 
i-1 j
-2u
 
i j
+ u
 
i+1 j

(D x)2
-
u
 
i j-1
-2u
 
i j
+ u
 
i j+1

(D y)2
=f(xi,yj), iÎZZ, 2£ j£ Ny-1     (4.41)
et
u
 
i 1
=u
 
i Ny
=0, iÎZZ.     (4.42)
N-y est un entier et (Ny-1)D y=Ly.
Nous désignerons par Ph le problème (4.53)-(4.54).
L'ensemble des indices N={(i,j)/ iÎ ZZ, 1£ j£ Ny} est décomposé en deux sous-ensembles d'indices N1={(i,j)/ i£ Nx1, 1£ j£ Ny} et N2={(i,j)/ Nx2£ i , 1£ j£ Ny} où Nx1 et Nx2 sont des entiers satisfaisants Nx2£ Nx1. Cela correspond à une décomposition de la bande infinie IR× [0,Ly] en deux sous-domaines W1=[-¥,L1]× [0,Ly] et W2=[l2,¥]× [0,Ly] où L1=Nx1D x et l2=Nx2D x. Si Nx2<Nx1, on dira, par analogie avec le cas continu, que les sous-domaines se recouvrent.
Nous allons réécrire Ph de deux manières différentes sous la forme de deux problèmes couplés posés sur les sous-ensembles d'indices N1 et N2. Nous considérons tout d'abord le couplage par des conditions de Dirichlet puis par des conditions de Robin discrétisées. Puis, nous étudierons une méthode itérative de résolution de ces systèmes couplés adaptée aux architectures parallèles. Pour cela, nous suivrons un plan parallèle celui du § 4.2 où le cas continu est traité.

On désigne par U1=(uij)(i,j)Î N1 la restriction de U au sous-ensemble d'indices N1 et par U2=(uij)(i,j)Î N2 sa restriction à N2.
On notera
A1 U1=F1     (4.43)
le système linéaire formé par: De manière similaire, on notera
A2 U2=F2     (4.44)
le système linéaire formé par: Le système linéaire (4.55) est sous-déterminé puisqu'il ne contient pas d'équations pour les indices (Nx1,j), 2£ j£ Ny-1 qui correspondent à la frontière du sous-domaine W1. De même, le système linéaire (4.56) est sous-déterminé puisqu'il ne contient pas d'équations pour les indices (Nx2,j), 2£ j£ Ny-1 qui correspondent à la frontière du sous-domaine W2. Dans les paragraphes qui suivent, nous ajoutons des conditions de raccord aux interfaces en i=Nx1 et i=Nx2 pour que le couple (U1,U2) soit déterminé de manière unique et soit égal aux restrictions de U aux sous-ensembles d'indices N1 et N2. Pour chaque jeu de conditions d'interfaces, on propose une méthode itérative de résolution adaptée aux architectures parallèles.

4.4.1  Problème discret sans second membre posé dans une bande semi-infinie

L'étude des méthodes de décomposition de domaine faite dans les paragraphes 3.4, 3.2 et 4.2, utilise la description des solutions de l'équation de Laplace sans second membre. Le but de ce paragraphe est de décrire l'ensemble des solutions discrètes des systèmes linéaires sous-déterminés
A1 W1 = 0     (4.45)
et
A2 W2 = 0     (4.46)
A1 et A2 sont définis par (4.55) et (4.56). Dans le cas continu (paragraphe 4.2), nous avons utilisé une décomposition en série de Fourier dans la direction y (voir les équations (4.4), (4.5), ...). Dans le cas discret qui nous intéresse, on introduit la suite de vecteurs Zm=sin(mp/ LyD y(j-1))1£ j£ Ny pour 1£ m£ Ny-2. On a le
Lemme 4.4.1  
Z
 
m, 1
=Z
 
mNy
=0
-
Z
 
mj+1
-2Z
 
mj
+Z
 
mj-1

(D y)2
= µm Z
 
mj
, 2£ j£ Ny-1
    (4.47)
µm=
4

(D y)2
sin(m
p D y

Ly
)2.     (4.48)
En d'autres termes, le vecteur Zm est un vecteur propre du laplacien discret dans la direction y avec des conditions de Dirichlet homogènes pour la valeur propre µm.

On appelle
VNyh={(vj)1£ j£ NyÎ IRNy/ v1=vNY=0}. Les vecteurs (Zm)2£ m£ Ny-1 forment une base de VNyh.

Remarque 4.4.1  On a un rapport direct entre le vecteur Zm ci-dessus et les fonctions zm (4.4) puisque zm(xj)=Zmj et quand D y tend vers zéro, µm tend vers (mp/ Ly)2=-z''m/ zm.

Pour
mD y proche de Ly (ou de manière équivalente, m proche de Ny-1), on a µm~ 4/ (D y)2 alors que (mp/ Ly)2~ p2/ (D y)2. Les limites sont différentes mais assez proches puisque p2/4~ 2,47.
Les vecteurs (Zm)2£ m£ Ny-1 formant une base de VNyh, il est possible de chercher W2 sous la forme
W2,ij=
Ny-1
S
m=2
w
m
 
2, i
 Zm,j, i³ Nx2, 1£ j£ Ny.     (4.49)
On cherche à ce que l'équation (4.58) soit vérifiée.
La condition de Dirichlet discrète (4.54) pour Nx2£ i est vérifiée puisque Zm 1=Zm Ny=0 pour tout m.
L'équation de Laplace discrète (4.53) s'écrit
-
Ny-1
S
m=2
w
m
 
2, i+1
-2w
m
 
2, i
+w
m
 
2, i-1

(D x)2
 Zm,j -
Ny-1
S
m=2
w
m
 
2, i
Z
 
mj+1
-2Z
 
mj
+Z
 
mj-1

(D y)2
=0,
soit en tenant compte du lemme 4.4.1
-
Ny-1
S
m=2
w
m
 
2, i+1
-2w
m
 
2, i
+w
m
 
2, i-1

(D x)2
 Zm,j +
Ny-1
S
m=2
w
m
 
2, i
µm Z
 
mj
=0
et en mettant en facteur w2, im
Ny-1
S
m=2
æ
ç
ç
è
-
w
m
 
2, i+1
-2w
m
 
2, i
+w
m
 
2, i-1

(D x)2
+ µm w
m
 
2, i
ö
÷
÷
ø
Z
 
mj
=0
Les vecteurs (Zm)2£ m£ Ny-1 étant indépendants, on a
-
w
m
 
2, i+1
-2w
m
 
2, i
+w
m
 
2, i-1

(D x)2
+ µm w
m
 
2, i
=0, 2£ m£ Ny-1, i> Nx2     (4.50)
On cherche des solutions particulières de cette équation aux différences finies sous la forme w2, im=rmi, rm doit satisfaire l'équation du second degré:
-
1

rm
-2+rm

(D x)2
m=0     (4.51)
dont les solutions sont
r
 
±,m
=
2+(D x)2µm± (2+(D x)2µm)2-4

2
.
ou encore,
r
 
±,m
=
2+(D x)2µm± 4(D x)2µm+(D x)4µm2

2
.     (4.52)
On a r+,m>1 et 0<r-,m<1.
Remarque 4.4.2  Par symétrie du Laplacien discret et de l'équation en rm (4.63), on a
r-,m=
1

r+,m
.     (4.53)

La solution générale de l'équation de récurrence (4.62) sur w2, im s'écrit sous la forme
w
m
 
2, i
= gm r
(i-Nx2)
 
-,m
+ dm r
(i-Nx2)
 
+,m
.
Le terme r+,m(i-Nx2) tend vers l'infini quand i tend vers l'infini. Pour que la solution reste bornée, il faut que dm soit nul. Il reste w2, im = gm r-,m(i-Nx2). Soit d'après (4.61), un élément du noyau de W2 s'écrit sous la forme
W2,ij=
Ny-1
S
m=2
gm r
i-Nx2
 
-,m
 Zm,j, i³ Nx2, 1£ j£ Ny     (4.54)
où (gm)2£ m£ Ny est une suite arbitraire de coefficients de Fourier. En raisonnant de la même manière pour (4.57), un élément du noyau de W1 s'écrit sous la forme
W1,ij=
Ny-1
S
m=2
dm r
i-Nx1
 
+,m
 Zm,j, i£ Nx1, 1£ j£ Ny     (4.55)
où (dm)2£ m£ Ny est une suite arbitraire de coefficients de Fourier. Dans ce dernier cas, c'est le terme r-,mi-Nx1 qui est exponentiellement croissant et doit être éliminé.

4.4.2  Reformulation avec des conditions de Dirichlet - Problème P'h

Nous ajoutons aux équation (4.55)-(4.56) les conditions de raccord de type Dirichlet:
u
 
1,N1 j
=u
 
2,N1 j
, 2£ j£ Ny-1     (4.56)
et
u
 
2,N2 j
=u
 
1,N2 j
, 2£ j£ Ny-1.     (4.57)
Nous désignerons par P'h le problème (4.55)-(4.56)-(4.68)-(4.69) Nous allons montrer que ce problème admet un couple solution unique (U1,U2) si et seulement si les sous-domaines se recouvrent (N1>N2).
Existence
On construit une solution de P'h à partir de la solution U du problème Ph en posant U1=(uj)jÎ N1 et U2=(uj)jÎ N2. Remarquons que s'il y a unicité, la solution de P'h est la restriction de U aux sous-ensembles d'indices N1 et N2.
Unicité
Par linéarité des équations, il suffit de considérer le cas homogène f=0. D'après (4.55) et (4.67), U1 s'écrit sous la forme
U1,ij=
Ny-1
S
m=2
d
 
1, m
r
i-Nx1
 
+,m
 Zm,j, i£ Nx1, 1£ j£ Ny
où (d1, m)2£ m£ Ny est une suite arbitraire de coefficients de Fourier. De même, d'après (4.56) et (4.66), U2 s'écrit sous la forme
U2,ij=
Ny-1
S
m=2
d
 
2, m
r
i-Nx2
 
-,m
 Zm,j, i³ Nx2, 1£ j£ Ny
où (d2, m)2£ m£ Ny est une suite arbitraire de coefficients de Fourier.
La condition de raccord (4.68) devient:
Ny-1
S
m=2
d
 
1, m
 Zm,j =
Ny-1
S
m=2
d
 
2, m
r
Nx1-Nx2
 
-,m
 Zm,j, 1£ j£ Ny
soit encore
Ny-1
S
m=2
(d
 
1, m
- d
 
2, m
r
Nx1-Nx2
 
-,m
Zm,j = 0, 1£ j£ Ny
d'où
d
 
1, m
- d
 
2, m
r
Nx1-Nx2
 
-,m
= 0, 2£ m£ Ny-1.     (4.58)
De même, la condition de raccord (4.69) s'écrit
d
 
2, m
- d
 
1, m
  r
Nx2-Nx1
 
+,m
= 0, 2£ m£ Ny-1.     (4.59)
Pour chaque m, le système linéaire en (d1, md2, m) (4.70)-(4.71) a un déterminant qui vaut 1-(r-, m/ r+, m)Nx1-Nx2.
Il est non nul ssi les sous-domaines se recouvrent, Nx2<Nx1. Alors, on a d1, m=d2, m=0 pour tout m et donc U1=U2=0. Ceci prouve l'unicité.
Dans le cas où les sous-domaines sont adjacents (Nx2=Nx1), le déterminant de (4.70)-(4.71) s'annule et le système linéaire (4.30)-(4.31) admet une infinité de solutions d1, m=d2, m, d2, m=d2, m. Il en est alors de même du problème P'h qui admet une infinité de solutions.
Lemme 4.4.2  Le problème P'h (Eqs. (4.55)-(4.56)-(4.68)-(4.69) admet une unique solution ssi les sous-domaines se recouvrent. Dans ce cas, la solution (U1,U2) de P'h est composée des restrictions, aux sous-domaines, de la solution U du problème Ph (i.e. U1=U|N1 et U2=U|N2).


4.4.3  Algorithme parallèle de résolution du problème P'h (Algorithme de Schwarz discret)

Nous considérons une méthode itérative de résolution du problème P'h. On part de U10 et U20 quelconques et on pose
ì
ï
í
ï
î
A1 U1n+1 = F1,
u
n+1
 
1,N1 j
=u
n
 
2,N1 j
, 2£ j£ Ny-1
    (4.60)
et
ì
ï
í
ï
î
A2 U2n+1 = F2,
u
n+1
 
2,N2 j
=u
n
 
1,N2 j
, 2£ j£ Ny-1
    (4.61)
où les matrices A1 et A2 sont définies par (4.55) et (4.56).
Remarque 4.4.3  Une solution stationnaire de l'algorithme est solution du problème P'h. Ceci prouve que si l'algorithme converge (voir plus loin la discussion suivant le chevauchement des sous-domaines), il converge vers l'unique solution de P'h qui est la restriction aux sous-domaines W1 et W2 de la solution U du problème Ph. L'algorithme de Schwarz (4.72)-(4.73) sera donc une méthode itérative de résolution du problème Ph.


Pour étudier la convergence, on pose E1n=(e1,ijn)(i,j)Î N1=U1n-U1 et E2n=(e2,ijn)(i,j)Î N2=U2n-U2 où (U1,U2) est la solution du problème P'h. Par linéarité des équations, l'erreur vérifie
ì
ï
í
ï
î
A1 E1n+1 = 0,
e
n+1
 
1,N1 j
=e
n
 
2,N1 j
, 2£ j£ Ny-1
    (4.62)
et
ì
ï
í
ï
î
A2 E2n+1 = 0,
e
n+1
 
2,N2 j
=e
n
 
1,N2 j
, 2£ j£ Ny-1.
    (4.63)
Les vecteurs E1n et E2n sont dans le noyau de A1 et A2 respectivement. D'après le paragraphe 4.4.1 (eqs. (4.67) et (4.66)), on peut écrire pour n³ 1:
e1,ijn=
Ny-1
S
m=2
d1,mn r
i-Nx1
 
+,m
 Zm,j, i£ Nx1, 1£ j£ Ny
et
e2,ijn=
Ny-1
S
m=2
d2,mn r
i-Nx2
 
-,m
 Zm,j, i³ Nx2, 1£ j£ Ny.
Les conditions de Dirichlet en i=Nx1 et i=Nx2 donnent:
d
n+1
 
1, m
= d
n
 
2, m
r
Nx1-Nx2
 
-,m
, 2£ m£ Ny-1
et
d
n+1
 
2, m
= d
n
 
1, m
  r
Nx2-Nx1
 
+,m
, 2£ m£ Ny-1.
En utilisant successivement les deux relations précédentes, on a pour tout m et n³ 2:
d
n+1
 
1, m
= d
n
 
2, m
r
Nx1-Nx2
 
-,m
= æ
ç
ç
ç
è
r
 
-, m

r
 
+, m
ö
÷
÷
÷
ø
Nx1-Nx2




 
  d
n-1
 
1, m
º bm d
n-1
 
1, m
.
La relation est aussi valable pour d2, mn+1. Comme Nx2£ Nx1, le terme bm est toujours positif et on a: bm<1 Nx2< Nx1. Pour Nx2 = Nx1, on a bm=1 et l'algorithme stagne. On a prouvé le
Théorème 4.4.3  L'algorithme de Schwarz (4.72)-(4.73) converge si et seulement si les sous-domaines se recouvrent (Nx2< Nx1).

Remarque 4.4.4  L'absence de convergence dans le cas sans recouvrement est en accord avec le fait que le problème P'h est alors mal posé.

Remarque 4.4.5  D'après (4.64), on a
r
 
-, m

r
 
+, m
=
1-
1-
4

(2+(D x)2 µm)2

1+
1-
4

(2+(D x)2 µm)2
Plus m est grand, plus µm (Eq. (4.60)) est grand. Ainsi, plus m est grand, plus le facteur de convergence bm est petit. Rappelons que cela correspond à la composante de l'erreur selon Zm=(sin(km yj))1£ j£ Ny. Les composantes les plus oscillantes de l'erreur le long des interfaces x=L1 et x=l2 sont ainsi très rapidement atténuées par l'algorithme.

Remarque 4.4.6  Les conclusions précédent valables pour un domaine borné dans la direction x.


4.4.4  Reformulation avec des conditions de Robin - Problème P''h

Le but de ce paragraphe est de coupler les systèmes linéaires (4.55)-(4.56) par des conditions de Robin (4.36)-(4.37) discrétisées sur les segments i=Nx1 et i=Nx2 (2£ j£ Ny-1) par (cf. (4.51)):
u
 
1,Nx1 j
- u
 
1,Nx1-1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx1
,yj) -
D x

2
u
 
1,Nx1 j-1
-2u
 
1,Nx1 j
+ u
 
1,Nx1 j+1

(D y)2
+a u
 
1,Nx1 j
=
-(
u
 
2,Nx1 j
- u
 
2,Nx1+1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx1
,yj) -
D x

2
u
 
2,Nx1 j-1
-2u
 
2,Nx1 j
+ u
 
2,Nx1 j+1

(D y)2
)
+a u
 
2,Nx1 j
    (4.64)
et (attention au changement de direction de la dérivée normale: n2=-n1)
u
 
2,Nx2 j
- u
 
2,Nx2+1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx2
,yj) -
D x

2
u
 
2,Nx2 j-1
-2u
 
2,Nx2 j
+ u
 
2,Nx2 j+1

(D y)2
+a u
 
2,Nx2 j
=
-(
u
 
1,Nx2 j
- u
 
1,Nx1-1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx2
,yj) -
D x

2
u
 
1,Nx2 j-1
-2u
 
1,Nx2 j
+ u
 
1,Nx2 j+1

(D y)2
)
+a u
 
1,Nx2 j
    (4.65)
a est un nombre strictement positif. Nous désignerons encore par P''h le problème constitué par les équations (4.55)-(4.56)-(4.76)-(4.77). Nous allons montrer que l'unique solution du problème P''h est la restriction aux sous-ensembles d'indices N1 et N2 de la solution du problème Ph (Eqs. (4.53)-(4.54)) posé sur l'ensemble des inconnues. Ce résultat est valable avec ou sans recouvrement des sous-domaines.
Remarque (Importante) 4.4.1  Les discrétisations des dérivées normales dans (4.76)-(4.77) ne font pas appel aux même points suivant que l'on soit dans le sous-domaine 1 ou dans le sous-domaine 2. On pourrait s'inquiéter des problèmes de consistance avec le problème Ph. Comme le montre le paragraphe Existence ci-dessous, la dépendance de (4.76) et (4.77) par rapport au second membre f assure l'équivalence des formulations.
Existence
On construit une solution de P''h à partir de la solution U de la solution du problème Ph en posant U1=(uj)jÎ N1 et U2=(uj)jÎ N2. Le couple (U1,U2) ainsi formé vérifie évidemment les équations (4.55) et (4.56). Vérifions que l'équation (4.76) est satisfaite. Comme u1,i Nx1=u2,i Nx1 ceci équivaut à montrer que
u
 
Nx1 j
- u
 
Nx1-1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx1
,yj) -
D x

2
u
 
Nx1 j-1
-2u
 
Nx1 j
+ u
 
Nx1 j+1

(D y)2
= -(
u
 
Nx1 j
- u
 
Nx1+1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx1
,yj) -
D x

2
u
 
Nx1 j-1
-2u
 
Nx1 j
+ u
 
Nx1 j+1

(D y)2
).
En divisant par D x et en regroupant les termes, ceci équivaut à
-
u
 
Nx1+1 j
-2u
 
Nx1 j
+ u
 
Nx1-1 j

(D x)2
-
u
 
Nx1 j+1
-2u
 
Nx1 j
+ u
 
Nx1 j-1

(D y)2
=f(x
 
Nx1
,yj).
Il s'agit du schéma de discrétisation du Laplacien écrit au point (xN1yj). On montre de même que l'équation (4.77) est satisfaite.
Unicité
Par linéarité des équations, il suffit de considérer les équations homogènes f=0. D'après (4.55) et (4.67), U1 s'écrit sous la forme
U1,ij=
Ny-1
S
m=2
d
 
1, m
r
i-Nx1
 
+,m
 Zm,j, i£ Nx1, 1£ j£ Ny
où (d1, m)2£ m£ Ny est une suite arbitraire de coefficients de Fourier. De même, d'après (4.56) et (4.66), U2 s'écrit sous la forme
U2,ij=
Ny-1
S
m=2
d
 
2, m
r
i-Nx2
 
-,m
 Zm,j, i³ Nx2, 1£ j£ Ny
où (d2, m)2£ m£ Ny est une suite arbitraire de coefficients de Fourier.
La condition de raccord (4.76) s'écrit en utilisant (4.59) et en groupant les termes:
Ny-1
S
m=2
æ
ç
ç
è
(
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm)+a ö
÷
÷
ø
d
 
1, m
 Zm,j
(
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm)
=
Ny-1
S
m=2
æ
ç
ç
è
-(
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm)+a ö
÷
÷
ø
r
Nx1-Nx2
 
-,m
d
 
2, m
 Zm,j,
soit encore pour tout m:
(
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm+a) d
 
1, m
+ (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm-a)r
Nx1-Nx2
 
-,m
d
 
2, m
=0.     (4.66)
De même, la condition de raccord (4.77) s'écrit:

(
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm-a)r
Nx2-Nx1
 
+,m
d
 
1, m
+ (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm+a) d
 
2, m
=0.     (4.67)
Pour chaque m, le système linéaire en (d1, md2, m) (4.78)-(4.79) a un déterminant det qui vaut
det=(
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm+a) (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm+a)
(
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm+a)
(
D x

2
- (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm-a) (
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm-a) æ
ç
ç
è
r-,m

r+,m
ö
÷
÷
ø
Nx1-Nx2



 
soit encore en utilisant (4.65),
det= (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm+a)2 - (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm-a)2 æ
ç
ç
è
r-,m

r+,m
ö
÷
÷
ø
Nx1-Nx2



 
Le déterminant est strictement positif. Le système (4.78)-(4.79) admet comme unique solution la solution nulle. Il en est alors de même du problème P''h. On a ainsi montré le
Lemme 4.4.4  Le problème P''h (Eqs. (4.55)-(4.56)-(4.68)-(4.69)) admet une unique solution. La solution (U1,U2) de P''h est composée des restrictions, aux sous-domaines, de la solution U du problème Ph (i.e. U1=U|N1 et U2=U|N2).

Remarque 4.4.7  Il est important de noter que le problème P''h, contrairement au problème P'h, admet une solution unique même quand les sous-domaines ne se recouvrent pas.


4.4.5  Algorithme parallèle de résolution du problème P''h

Nous considérons une méthode itérative de résolution du problème P''h. On part de U10 et U20 quelconques et on pose
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
A1 U1n+1 = F1,
u
n+1
 
1,Nx1 j
- u
n+1
 
1,Nx1-1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx1
,yj) -
D x

2
u
n+1
 
1,Nx1 j-1
-2u
n+1
 
1,Nx1 j
+ u
n+1
 
1,Nx1 j+1

(D y)2
+a u
n+1
 
1,Nx1 j
=
-(
u
n
 
2,Nx1 j
- u
n
 
2,Nx1+1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx1
,yj) -
D x

2
u
n
 
2,Nx1 j-1
-2u
n
 
2,Nx1 j
+ u
n
 
2,Nx1 j+1

(D y)2
)
+a u
n
 
2,Nx1 j
    (4.68)
et
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
A2 U2n+1 = F2,
u
n+1
 
2,Nx2 j
- u
n+1
 
2,Nx2+1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx2
,yj) -
D x

2
u
n+1
 
2,Nx2 j-1
-2u
n+1
 
2,Nx2 j
+ u
n+1
 
2,Nx2 j+1

(D y)2
+a u
n+1
 
2,Nx2 j
=
-(
u
n
 
1,Nx2 j
- u
n
 
1,Nx1-1 j

D x
-
D x

2
f(x
 
Nx2
,yj) -
D x

2
u
n
 
1,Nx2 j-1
-2u
n
 
1,Nx2 j
+ u
n
 
1,Nx2 j+1

(D y)2
)
+a u
n
 
1,Nx2 j
    (4.69)
où les matrices A1 et A2 sont définies par (4.55) et (4.56).
Remarque 4.4.8  Une solution stationnaire de l'algorithme est solution du problème P''h. Ceci prouve que si l'algorithme converge, il converge vers l'unique solution de P''h qui est la restriction aux sous-domaines W1 et W2 de la solution U du problème Ph. L'algorithme itératif (4.80)-(4.81) sera donc une méthode itérative de résolution du problème Ph.


Pour étudier la convergence, on pose E1n=(e1,ijn)(i,j)Î N1=U1n-U1 et E2n=(e2,ijn)(i,j)Î N2=U2n-U2 où (U1,U2) est la solution du problème P''h. Par linéarité des équations, l'erreur vérifie
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
A1 E1n+1 = 0,
e
n+1
 
1,Nx1 j
- e
n+1
 
1,Nx1-1 j

D x
-
D x

2
e
n+1
 
1,Nx1 j-1
-2e
n+1
 
1,Nx1 j
+ e
n+1
 
1,Nx1 j+1

(D y)2
+a e
n+1
 
1,Nx1 j
= -(
e
n
 
2,Nx1 j
- e
n
 
2,Nx1+1 j

D x
-
D x

2
e
n
 
2,Nx1 j-1
-2e
n
 
2,Nx1 j
+ e
n
 
2,Nx1 j+1

(D y)2
)
+a e
n
 
2,Nx1 j
    (4.70)
et
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
A2 E2n+1 = 0,
e
n+1
 
2,Nx2 j
- e
n+1
 
2,Nx2+1 j

D x
-
D x

2
e
n+1
 
2,Nx2 j-1
-2e
n+1
 
2,Nx2 j
+ e
n+1
 
2,Nx2 j+1

(D y)2
+a e
n+1
 
2,Nx2 j
= -(
e
n
 
1,Nx2 j
- e
n
 
1,Nx1-1 j

D x
-
D x

2
e
n
 
1,Nx2 j-1
-2e
n
 
1,Nx2 j
+ e
n
 
1,Nx2 j+1

(D y)2
)
+a e
n
 
1,Nx2 j
    (4.71)
Les vecteurs E1n et E2n sont dans le noyau de A1 et A2 respectivement. D'après le paragraphe 4.4.1 (eqs. (4.67) et (4.66)), on peut écrire pour n³ 1:
e1,ijn=
Ny-1
S
m=2
d1,mn r
i-Nx1
 
+,m
 Zm,j, i£ Nx1, 1£ j£ Ny
et
e2,ijn=
Ny-1
S
m=2
d2,mn r
i-Nx2
 
-,m
 Zm,j, i³ Nx2, 1£ j£ Ny.
La condition de Robin en i=Nx1 s'écrit
Ny-1
S
m=2
æ
ç
ç
è
(
1-r+,m-1

D x
+
D x

2
µm)+a ö
÷
÷
ø
d
n+1
 
1, m
 Zm,j
(
D x

2
µm)
=
Ny-1
S
m=2
æ
ç
ç
è
-(
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm)+a ö
÷
÷
ø
r
Nx1-Nx2
 
-,m
d
n
 
2, m
 Zm,j,
soit encore pour tout m (et en utilisant (4.65)):
(
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm+a) d
n+1
 
1, m
= - (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm-a) r
Nx1-Nx2
 
-,m
d
n
 
2, m
.
De même, la condition de Robin en i=Nx2 s'écrit:
(
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm+a) d
n+1
 
2, m
=- (
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm-a) r
Nx1-Nx2
 
-,m
d
n
 
1, m
.
En utilisant successivement les deux relations précédentes, on a pour tout m et n³ 2:
d
n+1
 
1, m
=
-
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm-a

1-r-,m

D x
+
D x

2
µm+a
r
Nx1-Nx2
 
-,m
d
n
 
2, m
  =
æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
1-r-,m

D x
+
D x

2
µm-a

1-r-,m

D x
+
D x

2
µm+a
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
2






 
r
2(Nx1-Nx2)
 
-,m
d
n-1
 
1, m
  º
bm d
n-1
 
1, m
.
La même relation est valable pour d2, mn+1. Le paramètre a étant positif, on a 0<bm<1 pour 2£ m£ Ny-1 avec ou sans recouvrement des sous-domaines. On a prouvé le
Théorème 4.4.5  Pour a>0, l'algorithme (4.80)-(4.81) converge géométriquement.

Remarque 4.4.9  Dans le cas continu sans recouvrement, la convergence a lieu mais n'est pas géométrique. Ici, la convergence est géométrique même sans recouvrement car on décompose l'erreur sur un nombre fini de vecteurs Zm . Dans le cas continu, l'erreur est décomposée sur un nombre infini de fonctions zm.

Remarque 4.4.10  Contrairement à l'algorithme de Schwarz du paragraphe 4.4.2, on a convergence avec ou sans recouvrement des sous-domaines.

Remarque 4.4.11  Contrairement au cas unidimensionnel, il n'est pas possible de choisir a pour avoir une convergence en deux itérations. En choisissant
a=
1-r
 
-,m0

D x
+
D x

2
µ
 
m0
pour m0 arbitraire, on peut seulement avoir une convergence en deux itérations de la composante de la solution selon Zm0

Remarque 4.4.12  Le recouvrement des sous-domaines favorise surtout la convergence des modes avec des grandes valeurs de m. Les composantes les plus oscillantes de l'erreur le long des interfaces x=L1 et x=l2 sont alors plus rapidement atténuées par l'algorithme.

Remarque 4.4.13  Les conclusions précédentes valables pour un domaine borné dans la direction x.



1
voir le polycopié [LL]

Previous Next Contents