Fondements de l'Informatique: Logique, modèles, calculs

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Description du cours

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Ce cours présente les fondements de l'informatique en tant que science. Si l'idée d'utiliser des machines pour effectuer des calculs est ancienne, c'est dans les années 30 que les travaux d'Alan Turing, Alonzo Church, Kurt Goedel et d'autres ont posé les bases de ce qui allait devenir l'informatique que nous connaissons aujourd'hui.

Leurs travaux ont révélé que le raisonnement et le calcul sont intimement liés et ces bases doivent donc se comprendre dans la tradition, plus ancienne, de la logique et des fondements des mathématiques, de Peano à Zermelo en passant par Hilbert et bien d'autres. Il est remarquable que ces bases soient toujours d'actualité, malgré les progrès technologiques spectaculaires.

Alors que d'autres cours montrent comment programmer, on explicite ici le cadre de ce qui est faisable, en termes - de calculabilité : certains problèmes ne peuvent pas être résolus par une machine ; - de complexité : certains problèmes ne peuvent être résolus en un temps raisonnable.

C'est par exemple sur ces points que reposent les technologies cryptographiques et le fameux problème "P=NP" à $1.000.000.

Programme

Logique des propositions et des prédicats : Formules, modèles, satisfiabilité, validité, prouvabilité.

Théorème de complétude de Gödel. Théorèmes d'incomplétude de Gödel.

Exemples de théories: arithmétique et théorie des ensembles Modèle de calcul : machines de Turing, calculabilité, décidabilité, théorème de l'arrêt, machine universelle

Classes de complexité : P, NP, réduction de problème, NP-complétude, problèmes SAT, complexité en espace.

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